Фомин В. Л. Обучение решению задач комбинаторики в гуманитарном вузе

Молодежь. Образование. Общество:  материалы Международной НПК (Иркутск, 02 мая 2017  г.)

Обучение решению задач комбинаторики в гуманитарном вузе

Learning the solution of tasks of combinatorics in a humanitarian high school

 

Фомин Виктор Леонидович

Fomin Victor Leonidovich

Ст. преподаватель ВСФ ФГБОУВО РГУП, г. Иркутск

foislu@rambler.ru

 

Аннотация. В статье рассматриваются методы решения задач комбинаторики. Предлагаются ведение формализованных протоколов записи решения задач с использованием теоретико-множественной символики и алгоритмики. Такой подход способствует активизации у обучающихся мыслительной деятельности.

Annotation. The article discusses methods of solution of problems of combinatorics. Are offered maintaining formalized protocols record of decision tasks with the use of set-theoretic symbols and algorithmic. This approach helps to activate students cognitive activity.

Ключевые слова: комбинаторика, исчисление множеств, алгоритм, соединения, сочетания, размещения, перестановки, правило сложения, правило умножения, алгоритм, протокол решения задачи.

Keywords: combinatorics, calculus of sets, algorithms, connections, combinations, permutations, arrangements, addition rule, multiplication rule, algorithm, protocol of solving the task.

 

В учебной математической литературе, освещающей комбинаторику, авторы ограничиваются словесным описанием решения задач (типичными примерами являются учебник математики Г. М. Аматовой и М. А. Аматова [1], а также решебник по теории вероятностей и математической статистике В. Е. Гмурмана [2]). Овладение приводимыми, не всегда простыми приемами мышления авторы как бы отсылают «в область чуда», которое редко случается. Зачастую студентами решение таких задач не воспроизводятся текстуально, а образцов символической записи их авторы, как правило, не приводят.

Нами уже предпринимались попытки облегчить овладение обучающимися приемами решения задач комбинаторики (см. [3]), и в настоящей работе наш методический подход излагается в его развитии. Мы опираемся на формализованную запись решения задач (протокол) с привлечением символики теории множеств. Примеры протоколов наряду с символикой содержат и краткие вербальные пояснения. Последние при достижении некоторых навыков могут опускаться. Нами также используется словесные выражения в самих формулах, задающих множества.

При решении комбинаторных задач исследуется сущность комбинаций, а для их исчисления используются правила сложения и умножения, а также формулы, выведенные из этих правил. Начнем с задачи на использование правила сложения, где исчисление множества сводится к его разбиению на классы, в которых подсчет элементов несложен.

Задача 1. На диске имеются файлы: a1.txt, a2.txt, a3.txt, a4.docx, a5.docx, a6.bmp, a7.jpg, a8.jpg, a9.gif. Сколькими способами можно открыть один из этих файлов, располагая приложениями: текстовый редактор Notepad, текстовый процессор MS Word, графический редактор Paint?

Примерная запись решения

В приведенном протоколе выделено три этапа: . Обозначение данных и искомых (первичные и целевое множества, их численности); . Выражение связи данных и искомых, разбиение целевого множества на классы и их исчисление (в правом поле), окончательная формула (правило сложения); . Подсчет искомого числа по формуле.

Этапы  и  — построение математической модели явления, составляют логическое ядро в решении всякой математической задачи. В модель могут включаться и другие вспомогательные множества. Известные числовые множества допустимо использовать без предварительного указания на этапе .

Сначала выявляется связь между множествами, выражается в форме описания элементов целевого множества через элементы первичного и вспомогательных множеств. В частности установление этой связи помогает выявить вид соединений (перестановки, размещения и т. д.). Затем производится переход к связи между численностями этих множеств по соответствующей формуле комбинаторики.

В простейших задачах ищется численность множества соединений — комбинаций заданного числа элементов. Это число r назовем размером выборки. Для перестановок оно равно численности первичного . В перечень свойств входят размер соединения, повторяемость элементов и их упорядоченность. В качестве примера рассмотрим решение задачи 2.

Задача 2. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и одного члена некоторой комиссии. Сколько существует различных комиссий?

Примерная запись решения

Рекомендуется численности разных множеств обозначать разными буквами. Такое соглашение позволяет в дальнейшем опускать за этими буквами скобки с указанием множества.

На этапе  в процессе описания производного множества обучаемые выясняют, что его элементы являются выборками с заданным перечнем свойств. По набору распознанных свойств устанавливают, что в данном случае соединения являются размещениями, записывается соответствующая формула связи численностей этих множеств. Далее на этапе  осуществляют подсчет числа соединений этой формуле. Связь в рассмотренной модели можно выразить и по-другому — задать производное множество алгоритмом порождения произвольного элемента. Приведем фрагмент протокола.

Фрагмент протокола решения

В правом поле записывается число способов исполнения каждого действия. Выражение искомого формулируется по правилу умножения.

Метод построения описания связи между заданными множествами и целевым множеством списком свойств проще алгоритмического метода, однако, он не всегда приводит к успеху. Может оказаться, что соединение не принадлежит ни к одному стандартному виду. Выход из затруднения в переходе от списка свойств к алгоритму. Усложним предыдущую задачу.

Задача 3. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и двух членов счетной комиссии. Сколько существует различных комиссий ?

Примерная запись решения

Здесь описанием выборки цель не была достигнута — характер соединения не установлен. Поэтому в конце выражения поставлен знак вопроса, и далее следует алгоритмическое установление связи.

Следует заметить, что применение правила умножения требует проверки независимости числа способов выполнения очередного действия от выбора варианта предыдущего. В противном случае предыдущее действие следует разбить на классы, для каждого класса в отдельности подсчитать варианты продолжений и воспользоваться правилом сложения (см. решение задачи 4).

Задача 4. Сколько существует шестизначных цифровых кодов, у которых вторая цифра кратна трем, а среди четырех последних цифр тройка, четверка и пятерка присутствуют не менее чем по одному разу?

Примерная запись решения

Практическая значимость приведенных протоколов решения задач в том, что формализация записи решения задач, направляя мыслительную деятельность обучающихся, способствует формированию способностей математического моделирования и развитию алгоритмического мышления, а при систематическом ее использовании способствует выработке соответствующих навыков. Для преподавателя такой подход облегчает в ходе проверки локализацию ошибок и последующую работу над ними.

Список источников:

  1. Аматова Г. М., Аматов М. А. Математика: учеб. пособие для факультетов подготовки бакалавров образования в области начального образования и учителей начальных классов педагогических высших учебных заведений. — М.: Московский психолого-социальный институт, 1999. — 488 с.
  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — 9-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2004. — 404 с.
  3. Фомин В. Л. Теоретико-множественная парадигма в курсе математики и информатики гуманитарного вуза. // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири. — Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2003. — С. 224.

 

Добавить комментарий